17873. В прямоугольную трапецию ABCD
с основаниями CD=3AB
, меньшей боковой стороной AD
и площадью 4 вписана окружность. Найдите её радиус.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Пусть радиус окружности равен r
, а P
, Q
, R
и S
— точки её касания со сторонами AB
, BC
, CD
и DA
соответственно. Тогда
AP=AS=SD=DR=r.
Пусть BP=BQ=y
и CQ=CR=x
. Тогда
r+y=AB=3CD=3(r+x),
4=S_{ABCD}=\frac{1}{2}AD(AB+CD)=\frac{1}{2}\cdot2r\cdot4(r+x)~\Rightarrow~r(r+x)=1.
Пусть O
— центр окружности, CK
— высота трапеции. Тогда
BC=y+x,~BK=y-x,~CK=2r,
а так как OQ
— высота прямоугольного треугольника BOC
, проведённая из вершины прямого угла, то (см. задачи 313 и 656)
r^{2}=OQ^{2}=CQ\cdot BQ=xy.
Кроме того,
r+y=AB=3CD=3(r+x)~\Rightarrow~y=2r+3x~\Rightarrow~r^{2}=x(2r+3x)~\Rightarrow~r=3x.
Тогда из равенства r(r+x)=1
находим
4r^{2}=3~\Rightarrow~r=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2006, задача 5