17880. На продолжении хорды AB
окружности с центром O
отмечена точка X
. Прямые, проходящие через эту точку, касаются окружности в точках C
и D
. Точка E
— середина CD
. Известно, что \angle BEO=140^{\circ}
. Найдите \angle AOB
.
Ответ. 100^{\circ}
.
Решение. Заметим, что точки P
, E
и X
лежат на одной прямой, а CE
— высота прямоугольного треугольника ACX
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому XC^{2}=XO\cdot XE
(см. задачу 2728). С другой стороны, по теореме о касательной и секущей XC^{2}=XO\cdot XE
, поэтому точки B
, A
, O
и E
лежат на одной окружности (см. задачу 114). Значит (см. задачу 6),
\angle OAB=180^{\circ}-\angle BEO=180^{\circ}-100^{\circ}=40^{\circ}.
Следовательно, из равнобедренного треугольника AOB
находим, что
\angle OAB=180^{\circ}-2\angle OAB=180^{\circ}-2\cdot40^{\circ}=100^{\circ}.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2012, задача 7