17881. На стороне BC
остроугольного треугольника ABC
как на диаметре построена окружность \Gamma
, вторично пересекающая стороны AB
и AC
в точках P
и Q
соответственно. Найдите \angle BAC
, если известно, что ортоцентр треугольника APQ
лежит на окружности \Gamma
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Пусть K
— ортоцентр треугольника APQ
. Ортоцентр треугольника ABC
расположен внутри него (см. задачу 127а), а так как треугольник AQP
подобен треугольнику ABC
(см. задачу 141), то его ортоцентр K
находится внутри треугольника AQP
.
Обозначим \angle BAC=\alpha
. Заметим, что
\angle KPA=\angle KQA=90^{\circ}-\alpha.
Поскольку BPQC
— вписанный четырёхугольник, получаем
\angle BQK=180^{\circ}-\angle BPK=\angle APK=90^{\circ}-\alpha.
В то же время
\angle BQK=\angle BQA-\angle KQA=90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha.
Следовательно, из равенства
90^{\circ}-\alpha=\alpha
находим, что \alpha=45^{\circ}
.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2013, задача 1