17883. В треугольнике ABC
проведена высота AD
, H
— ортоцентр треугольника, K
— центр окружности, проходящей через точку D
и касающейся прямой BH
в точке H
. Докажите, что прямая DK
делит пополам сторону AC
.
Решение. Поскольку \angle KH\perp BH
, а треугольник DKH
равнобедренный, получаем
\angle KDA=\angle KDH=90^{\circ}-\angle BHD=\angle HBD=\angle BHD=\angle HAC=\angle CAD.
В то же время, если M
— середина стороны AC
, то медиана DM
прямоугольного треугольника ADC
равна половине AM
стороны AC
(см. задачу 1109), поэтому треугольник AMD
равнобедренный. Значит,
\angle MDA=\angle MAD=\angle CAD=\angle KDA.
Тогда точки D
, K
и M
лежат на одной прямой. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2013, часть 2, задача 1