17884. Дан остроугольный треугольник ABC
, в котором AB\lt AC
. Окружность \Gamma
касается прямой AB
в точке B
, проходит через вершину C
и вторично пересекает прямую AC
в точке D
. Докажите, что ортоцентр H
треугольника ABD
лежит на окружности \Gamma
тогда и только тогда, когда H
лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC
.
Решение. Пусть углы треугольника ABC
при вершинах A
и C
равны \alpha
и \gamma
соответственно. Заметим, что ADB
— внешний угол треугольника BCD
, а ABD
— угол между касательной и хордой окружности \Gamma
, поэтому
\angle ADB=\angle DCB+\angle CBD=\angle ABD+\angle CBD=\angle ABC.
Значит, треугольники ADB
и ABC
с общим углом при вершине A
подобны по двум углам. Тогда треугольник ABD
, как и треугольник ABC
, остроугольный. Значит, ортоцентр H
треугольника ADB
лежит внутри треугольника ADB
. Следовательно,
\angle BHD=180^{\circ}-\angle BAC=180^{\circ}-\alpha.
Необходимость. Пусть точка H
лежит на окружности \Gamma
. Поскольку AB\lt AC
, точка D
лежит на стороне AC
, а не на её продолжении. Тогда из вписанного четырёхугольника BCDH
получаем
\gamma=\angle ACB=\angle DCB=180^{\circ}-\angle BHD=180^{\circ}-(180^{\circ}-\alpha)=\alpha.
Значит, треугольник ABC
равнобедренный с основанием AC
, а его вершина B
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC
. Тогда
\angle HBC=\angle ABH=\angle HCB~\Rightarrow~HB=HC.
Следовательно, точка H
лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC
. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть точка H
лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC
. Тогда
\angle HCB=\angle HBC=90^{\circ}-\angle ACB=90^{\circ}-\gamma,
а так как
\angle HDB=90^{\circ}-\angle ABD=90^{\circ}-\angle ACB=90^{\circ}-\gamma=\angle HCB,
то точки B
, C
, D
и H
лежат на одной окружности (см. задачу 12), т. е. на окружности \Gamma
, проходящей через B
, C
и D
. Достаточность доказана.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2013, часть 3, задача 3