17891. Точка X
лежит на стороне BC
треугольника ABC
, причём AX=AB
. Луч AX
пересекает описанную окружность \Gamma
треугольника ABC
в точке D
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника BDX
лежит на окружности \Gamma
.
Решение. Через точку A
перпендикулярно BC
проведём луч, пересекающий сторону BC
в точке E
, а окружность \Gamma
— в точке F
. Докажем, что F
— центр описанной окружности треугольника BDX
.
Поскольку AB=AX
, точка F
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BX
, поэтому FB=FX
.
Поскольку
\angle CDX=\angle CDA=\angle ABC=\angle ABX=\angle AXB,
треугольник XCD
подобен равнобедренному треугольнику BAX
. Значит, треугольник CDX
равнобедренный, CD=CX
. Кроме того,
\angle DCF=\angle DAF=\angle BAF=\angle BCF,
поэтому CF
— биссектриса угла DCX
равнобедренного треугольника XCD
. Значит CF
— серединный перпендикуляр к отрезку XD
.
Таким образом, AF
и CF
— серединные перпендикуляры к сторонам соответственно BX
и XD
треугольника BDX
. Следовательно, точка F
, лежащая на окружности \Gamma
— центр описанной окружности треугольника BDX
(см. задачу 1142). Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2014, задача 5