17894. Точка I
— центр вписанной окружности остроугольного треугольника ABC
. Эта окружность касается стороны BC
в точке D
. Вписанная окружность треугольника ABD
касается стороны AB
в точке E
, а вписанная окружность треугольника ACD
касается стороны BC
в точке F
. Докажите, что точки B
, E
, I
, F
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть вписанные окружности треугольников ABD
и ACD
касаются прямой BC
в точках P
и Q
соответственно. Заметим (см. задачу 708), что эти окружности касаются общей стороны AD
в одной и той же точке (обозначим её G
). Тогда PD=DG=DF
, а так как ID\perp PF
, то треугольник PID
равнобедренный.
Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается стороны AB
в точке Q
. Тогда прямоугольный треугольники IQE
и IDP
равны по двум катетам: IQ=ID
как радиусы вписанной окружности треугольника ABC
, а
EQ=BQ-BE=BD-BP=PD.
В то же время, прямоугольные треугольники IDF
и IDP
тоже равны по двум катетам, поэтому равны прямоугольные треугольники IQE
и IDF
. Значит,
\angle EIQ=\angle FID~\Rightarrow~\angle EIF=\angle EID+\angle FID=\angle EID+\angle EIQ=\angle QID,
а так как
\angle QID+\angle ABC=180^{\circ},
то
\angle EIF+\angle EBD=180^{\circ}.
Следовательно, четырёхугольник BEIF
вписанный, т. е. точки B
, E
, I
, F
лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2014, задача 5