17903. Медианы треугольника ABC
пересекаются в точке G
. Описанные окружности треугольников AGB
и AGC
вторично пересекают прямую BC
в точках X
и Y
соответственно. Докажите, что G
— точка пересечения медиан треугольника XAY
.
Указание. См. задачу 2636.
Решение. Пусть D
— середина отрезка BC
. Тогда (см. задачу 2636)
DX\cdot DB=DG\cdot DA=DY\cdot DC~\Rightarrow~DX=DY,
так как DB=DC
. Значит, D
— середина отрезка XY
.
Поскольку G
— точка пересечения медиан треугольника, G
лежит на медиане AD
этого треугольника и делит её в отношении AG:GD=2:1
. Значит, точка G
лежит на медиане AD
треугольника AXY
и делит её в том в же отношении 2:1
. Следовательно, G
— точка пересечения медиан треугольника XAY
. Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2015, задача 1