17905. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом при вершине B
проведена биссектриса AD
. Описанная окружность треугольника ACD
вторично пересекает катет AB
в точке E
, а описанная окружность треугольника ABD
вторично пересекает гипотенузу AC
в точке F
. Точка K
симметрична точке E
относительно прямой BC
. Докажите, что FK=BC
.
Указание. Докажите равенство прямоугольных треугольников DFC
и DBE
.
Решение. Заметим, что AD
— диаметр описанной окружности треугольника ABD
, поэтому
\angle CFD=\angle AFD=90^{\circ}.
Точка D
равноудалена от сторон угла BAC
, так как она лежит на биссектрисе этого угла (см. задачу 1138). Значит, DF=DB
. В то же время, CD
и DE
— хорды описанной окружности треугольника ACD
, на которые опираются равные вписанные углы CAD
и EAD
этой окружности, поэтому CD=DE
. Значит, прямоугольные треугольники DFC
и DBE
равны по катету и гипотенузе. Следовательно, BK=BE=FC
.
Из точек F
и B
отрезок CK
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром CK
, а так как хорды BK
и FC
этой окружности равны, то хорды BF=KC
параллельны. Тогда трапеция BKCF
, вписанная в окружность, — равнобедренная. Следовательно, её диагонали равны, т. е. FK=BC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2015, задача 5