17908. В треугольнике ABC
проведены высота AD
и медиана AE
, причём точки B
, D
, E
и C
расположены в указанном порядке. Известно, что центр вписанной окружности треугольника ABE
лежит на AD
, а центр вписанной окружности треугольника ADC
— на AE
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. 90^{\circ}
, 60^{\circ}
, 30^{\circ}
.
Указание. Докажите, что лучи AD
и AE
разбивают угол BAC
на три равных угла.
Решение. Поскольку центр P
вписанной окружности треугольника ABE
лежит на его высоте AD
, эта высота является биссектрисой, поэтому треугольник ABE
равнобедренный, AB=AE
, а D
— середина отрезка BE
. Обозначим \angle BAD=\angle EAD=\alpha
и BC=a
.
Поскольку центр Q
вписанной окружности треугольника ADC
лежит на биссектрисе угла CAD
, то \angle EAC=\angle EAD=\alpha
. Кроме того, по свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{CE}=\frac{\frac{a}{4}}{\frac{a}{2}}=\frac{1}{2}.
В прямоугольном треугольнике ADC
катет AD
вдвое меньше гипотенузы AC
, поэтому \angle ACD=30^{\circ}
(см. задачу 1179). Тогда
2\alpha=\angle CAD=60^{\circ}~\Rightarrow~\alpha=30^{\circ}~\Rightarrow~\angle BAC=3\alpha=90^{\circ}~\Rightarrow~\angle ABC=60^{\circ}.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2016, задача 5