17909. Дана окружность \Omega
и её хорда AB
, не являющаяся диаметром. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
, расположенные по разные стороны от прямой AB
касаются внутренним образом окружности \Omega
в точках D
и F
соответственно, а прямой AD
— в точках C
и E
соответственно. Луч DC
пересекает окружность \Omega
в точке X
, а луч FE
пересекает окружность \Omega
в точке Y
. Докажите, что XY
— диаметр окружности \Omega
.
Указание. Примените лемму Архимеда о сегменте (см. задачу 89)
Решение. По лемме Архимеда о сегменте (см. задачу 89) точки X
и Y
— середины дуг соответственно AFB
и ADB
окружности \Omega
, а так как сумма градусных мер этих дуг равна 360^{\circ}
, то сумма градусных мер половин этих дуг равна 180^{\circ}
. Следовательно, XY
— диаметр окружности \Omega
. Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2017, задача 5