17910. Точка I
— центр вписанной окружности остроугольного треугольника ABC
, в котором AB\lt AC
. Вписанная окружность касается сторон BC
, CA
и AB
в точках D
, E
и F
соответственно, а лучи BI
и CI
пересекают прямую EF
в точках Y
и X
соответственно. Пусть точки X
и Y
лежат вне отрезка EF
. Докажите, что:
а) точки B
, C
, Y
, X
лежат на одной окружности;
б) точка I
— также центр вписанной окружности треугольника DYX
.
Ответ. См. задачу 58.
Решение. а) Из точек X
и Y
отрезок BC
виден под прямым углом (см. задачу 58), значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BC
. Следовательно, точки B
, C
, Y
, X
лежат на одной окружности. Утверждение пункта а) доказано.
б) Из точек D
и X
отрезок BI
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BI
, а так как \angle BFI=90^{\circ}
, то на этой окружности лежит и точка F
. Тогда
\angle DXI=\angle DBI=\frac{1}{2}\angle ABC,
\angle YXI=\angle BFI=\angle FBI=\frac{1}{2}\angle ABC,
поэтому XI
— биссектриса угла DXY
. Аналогично, YI
— биссектриса угла DYX
. Следовательно, I
— центр вписанной окружности треугольника DYX
. Утверждение пункта б) доказано.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2017, задача 6