17913. Точки M
и N
лежат на сторонах соответственно AB
и AC
треугольника ABC
, причём MB=BC=CN
соответственно. Известно, радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
равны R
и r
соответственно. Найдите отношение {MN}{BC}
.
Ответ. \sqrt{1-\frac{2r}{R}}
.
Указание. Примените теорему о трилистнике (см. задачу 788) и формулу Эйлера (см. задачу 126).
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности \Omega
, I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, D
— отличная от B
точка пересечения прямой BI
с окружностью \Omega
. Поскольку I
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
, точка D
— середина дуги AC
окружности \Omega
, поэтому OD\perp AC
и OD=R
.
Докажем, что треугольники MNC
и IOD
подобны. Действительно, поскольку BC=BM
, треугольник CBM
равнобедренный, поэтому его биссектриса, проведённая из вершины B
перпендикулярна CM
, а так как OD\perp AC
, то \angle ODI=\angle NCM
как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Осталось доказать, что \frac{DI}{OD}=\frac{DI}{CM}
.
Пусть \angle ABD=\angle CBD=\beta
. Из равнобедренного треугольника BCM
получаем
\frac{CM}{NC}=\frac{CM}{BC}=2\sin\beta.
По теореме о трилистнике (см. задачу 788) DI=DC=DA
, поэтому \angle DIC=\angle DCI
. Пусть DE
— диаметр окружности \Omega
. Тогда, применив теорему синусов, получаем
\frac{DI}{OD}=\frac{CD}{OD}=\frac{2R\sin\beta}{R}=2\sin\beta=\frac{CM}{NC}.
Следовательно, треугольники MNC
и IOD
подобны по двум сторонам и углу между ними.
Применив формулу Эйлера для расстояния между центрами описанной и вписанной окружностей треугольника (см. задачу 126), найдём
\frac{MN}{BC}=\frac{MN}{NC}=\frac{IO}{OD}=\frac{IO}{R}=\frac{\sqrt{R^{2}-2Rr}}{R}=\sqrt{1-\frac{2r}{R}}.
Источник: Азиатско-тихоокеанская математическая олимпиада. — 2005, задача 5