17914. Медианы треугольника ABC
пересекаются в точке G
, точка M
— середина стороны BC
. Прямая, проведённая через точку G
параллельно стороне BC
, пересекает стороны AB
и AC
в точках X
и Y
соответственно. Прямые CX
и BG
пересекаются в точке Q
, а прямые BY
и CG
— в точке P
. Докажите, что треугольник MPQ
подобен треугольнику ABC
.
Решение. Пусть прямая BG
пересекает сторону AC
в точке D
— середине стороны AB
. Тогда MD
— средняя линия треугольника ABC
. Значит, MD\parallel AB
и MD=\frac{1}{2}AD
Обозначим BC=a
. Из подобия треугольников XAY
и BAC
находим
XY=\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}a~\Rightarrow~GY=GX=\frac{1}{2}XY=\frac{1}{3}a
(см. задачу 2607). Треугольник GPY
подобен треугольнику CPB
с коэффициентом \frac{GY}{BC}=\frac{1}{3}
, поэтому
PC=\frac{3}{4}CG=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}CE=\frac{1}{2}CE.
Значит, P
— середина CE
, а точки M
, P
и D
лежат на одной прямой — на средней линии MD
треугольника ABC
. При этом, поскольку CE
— медиана треугольника ABC
, то
MP=\frac{1}{2}MF=\frac{1}{4}AB.
Аналогично докажем, что MQ=\frac{1}{4}AC
, а так как PM\parallel AB
и QM\parallel AC
, то \angle PMA=\angle ABC
. Следовательно, MPQ
подобен треугольнику ABC
по двум сторонам и углу между ними, причём коэффициент подобия равен \frac{1}{4}
Источник: Азиатско-тихоокеанская математическая олимпиада. — 1991, задача 1