17918. В остроугольном треугольнике ABC
точка H
— ортоцентр, а M
— середина стороны BC
. Точка Y
— проекция точки H
на сторону AC
, а точка Q
лежит на прямой BH
, причём QA\perp AM
. Прямая MQ
вторично пересекает окружность с диаметром MY
в точке J
. Докажите, что HJ\perp AM
.
Решение. Поскольку \angle MHY=90^{\circ}
, точка Y
лежит на окружности с диаметром MY
, поэтому четырёхугольник HMJY
вписанный. Тогда \angle HJM=\angle HYM
, а так как QA\perp AM
, то
HJ\perp AM~\Leftrightarrow~HJ\parallel QA~\Leftrightarrow~\angle HJM=\angle AQM~\angle HYM=\angle AQM.
Поскольку \angle YHM=\angle QAM=90^{\circ}
, последнее равенство равносильно подобию треугольников AQM
и HYM
.
Пусть точки P
и R
— симметричны точкам соответственно A
и H
относительно точки M
. Поскольку \angle YHM=\angle QAM=90^{\circ}
, то \angle YHR=\angle QAP
, значит, подобие треугольников AQM
и HYM
равносильно равенствам
\frac{AQ}{AM}=\frac{HY}{HM}~\Leftrightarrow~\frac{AQ}{HY}=\frac{AM}{HM}~\Leftrightarrow~\frac{AQ}{HY}=\frac{\frac{1}{2}AP}{\frac{1}{2}HR}~\Leftrightarrow~\frac{AQ}{HY}=\frac{AP}{HR}.
Последнее равенство равносильно подобию прямоугольных треугольников AQP
и HYR
, что в свою очередь, равносильно равенству \angle QPA=\angle YRH
.
Точка R
лежит на описанной окружности треугольника ABC
, BRCH
— параллелограмм (см. задачу 6300). Поскольку CR\parallel HB
и HB\perp AC
, то \angle ACR=90^{\circ}
, поэтому \angle YCR=\angle RHY=90^{\circ}
. Значит, четырёхугольник YHRC
вписанный, поэтому
\angle YRH=\angle YCH=\angle ACF=90^{\circ}-\angle BAC,
Поскольку BP\parallel AC
и AC\perp BQ
, то \angle PBQ=90^{\circ}
, поэтому \angle PBQ=\angle PAQ=90^{\circ}
. Значит, четырёхугольник ABPQ
вписанный, поэтому
\angle QPA=\angle QBA=\angle ABE=90^{\circ}-\angle BAC=\angle YRH.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Европейский математический кубок. — 2012, задача 3