17919. Точки D
и E
— середины сторон соответственно AB
и AC
остроугольного треугольника ABC
. Точка F
лежит на прямой DE
, причём D
— середина отрезка DF
. Около треугольника BDF
описана окружность \Gamma
. На отрезке CD
выбрана точка G
, для которой середина отрезка EG
лежит на окружности \Gamma
; H
— вторая точка пересечения \Gamma
с прямой CF
. Докажите, что четырёхугольник BHGC
вписанный.
Решение. Поскольку D
и E
— середины AB
и AC
соответственно, диагонали AB
и EF
четырёхугольника AFBE
делятся точкой D
пополам. Следовательно, AFBE
— параллелограмм.
Лемма. Если прямая BG
вторично пересекает \Gamma
в точке I
, то FI\parallel CD
.
Действительно, достроим треугольник ABC
до параллелограмма ACBJ
. Поскольку BF\parallel AE
, точки C
, D
и J
лежат на одной прямой, а так как F
и I
— середины отрезков BJ
и BG
, то из теоремы о средней линии треугольника следует, что FI\parallel CD
. Лемма доказана.
Из параллельности FI
и CD
получаем, что \angle BIF=\angle BGD
, а так как четырёхугольник BIHF
вписан в окружность \Gamma
, то \angle BIF=\angle BHF
. Значит,
\angle CHB=180^{\circ}-\angle BHF=180^{\circ}-\angle BGD=\angle CGB.
Из точек H
и G
, лежащих по одну сторону от прямой BC
, отрезок BC
виден под одним и тем же углом. Следовательно (см. задачу 12), точки B
, H
, G
и C
лежат на одной окружности, т. е. четырёхугольник BHGC
вписанный. Что и требовалось доказать.
Источник: Европейский математический кубок. — 2012, задача 1