17923. Дан выпуклый пятиугольник ABCDE
. Докажите, что четырёхугольник с вершинами в точках пересечения медиан треугольников ABE
, BCE
, CDE
и DAE
— параллелограмм, а его площадь равна \frac{2}{9}
площади четырёхугольника ABCD
.
Указание. Отметьте середины отрезков BE
и DE
.
Решение. Пусть P
, Q
и R
и S
— точки пересечения медиан треугольников ABE
, BCE
, CDE
и DAE
соответственно. Отметим середины M
и N
отрезков BE
и DE
соответственно. Точки P
и Q
лежат на медианах соответственно AM
и CM
треугольников ABE
и BCE
, причём
\frac{MP}{MA}=\frac{MQ}{MC}=\frac{1}{3}.
Точки R
и S
лежат на медианах CN
и AN
треугольников CDE
и DAE
соответственно, причём
\frac{NR}{NC}=\frac{NS}{NA}=\frac{1}{3}.
Значит, PQ=\frac{1}{3}AC=SR
и PQ\parallel AC\parallel SR
. Следовательно, PQRS
— параллелограмм.
По теореме о средней линии треугольника MN\parallel AB
, поэтому PS\parallel BD
, а по доказанному выше PQ\parallel AC
,
Пусть диагонали AC
и SR
четырёхугольника ABCD
пересекаются под углом \alpha
. Тогда угол между соответственно параллельными им сторонами параллелограмма PQRS
тоже равен \alpha
. Следовательно,
S_{PQRS}=PQ\cdot PS\sin\alpha=\frac{1}{3}AC\cdot\frac{1}{3}BD\sin\alpha=\frac{1}{9}AC\cdot BD\sin\alpha=
=\frac{1}{9}\cdot2\cdot\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\alpha=\frac{2}{9}S
(см. задачу 3018). Что и требовалось доказать
Источник: Центральноамериканская математическая олимпиада. — 2000, задача A3