17928. Дана окружность с диаметром AB
. Точки C
и D
лежат на касательной к окружности, проведённой в точке B
, причём точка B
лежит между C
и D
. Прямые AC
и AD
вторично пересекают окружность в точках E
и F
соответственно. Прямые CF
и DE
вторично пересекают окружность в точках H
и G
соответственно. Докажите, что AG=AH
.
Указание. См. задачи 2728 и 114.
Решение. Заметим, что CF
и BE
— высоты прямоугольных треугольников ABC
и ADC
, проведённые из вершин прямых углов, поэтому (см. задачу 2728)
AE\cdot AC=AB^{2}=AF\cdot AD.
Значит (см. задачу 114), четырёхугольник CEFD
вписанный. Тогда
\angle CED=\angle CFD~\Rightarrow~\angle AEH=\angle AFG.
Следовательно, равные вписанные в данную окружности углы AEH
и AFG
опираются на равные хорды AH
и AG
соответственно. Что и требовалось доказать.
Источник: Центральноамериканская математическая олимпиада. — 2003, задача A2