17929. Две окружности пересекаются в точках
P
и
Q
. Прямая, проходящая через точку
P
, вторично пересекает окружности в точках
A
и
A'
. Прямая, проведённая через точку
Q
параллельно
AA'
, вторично пересекает окружности в точках
B
и
B'
(точки
A
и
B
лежат на одной окружности). Докажите, что треугольники
AQA'
и
BPB'
имеют равные периметры.
Указание. См. задачу 1450.
Решение. Трапеции (или параллелограммы), вписанные в окружность, равнобедренные (или являются прямоугольниками), поэтому
PB=QA
и
PB'=QA'
.
Поскольку четырёхугольники
ABQP
и
A'PQB'
вписанные, получаем, что
\angle ABQ=180^{\circ}-\angle APQ=\angle A'PQ=180^{\circ}-\angle A'BQ.

Значит,
AB\parallel A'B'
. Аналогично,
AA'\parallel BB'
. Тогда
ABB'A'
— параллелограмм, поэтому
AA'=BB'
. Таким образом, треугольники
AQA'
и
BPB'
равны по трём сторонам. Следовательно, равны их периметры. Что и требовалось доказать.
Источник: Центральноамериканская математическая олимпиада. — 2003, задача B1