1793. Рассмотрим равнобедренные треугольники с одними и теми же боковыми сторонами. Докажите, что чем больше угол при вершине, тем меньше высота, опущенная на основание.
Указание. Пусть ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
— равнобедренные треугольники с основаниями BC
и B_{1}C_{1}
, причём AB=AC=A_{1}B_{1}=A_{1}C_{1}
и \angle A\gt\angle A_{1}
, а AD
и A_{1}D_{1}
— их высоты. Отложите от луча AC
в полуплоскости, содержащей точку B
, луч AB_{2}
под углом, равным углу B_{1}A_{1}C_{1}
, к лучу AC
.
Решение. Первый способ. Пусть ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
— равнобедренные треугольники с основаниями BC
и B_{1}C_{1}
, причём
AB=AC=A_{1}B_{1}=A_{1}C_{1}~\mbox{и}~\angle A\gt\angle A_{1},
а AD
и A_{1}D_{1}
— их высоты.
Отложим от луча AC
в полуплоскости, содержащей точку B
, луч AB_{2}
под углом, равным углу B_{1}A_{1}C_{1}
, к лучу AC
. Тогда точка K
пересечения луча AB_{2}
с прямой BC
лежит на отрезке BC
. Будем считать, что AB_{2}=A_{1}B_{1}=AB
.
Поскольку AK\lt AB=A_{1}B_{1}
, то точка K
лежит на отрезке AB_{2}
, значит, точки B_{2}
и A
лежат по разные стороны от прямой BC
. Тогда, если AD_{2}
— высота треугольника AB_{2}C
, то точки A
и D_{2}
также лежат по разные стороны от прямой BC
, поэтому AD_{2}
пересекает отрезок BC
в некоторой точке M
. Следовательно, A_{1}D_{1}=AD_{2}\gt AM\gt AD
.
Второй способ. Пусть ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
— равнобедренные треугольники с основаниями BC
и B_{1}C_{1}
, причём
AB=AC=A_{1}B_{1}=A_{1}C_{1}~\mbox{и}~\angle A\gt\angle A_{1}.
На продолжениях высот AD
и A_{1}D_{1}
соответственно за точки D
и D_{1}
отложим отрезки AM=AD
и A_{1}M_{1}=A_{1}D_{1}
. Тогда
CM=AB=AC,~C_{1}M_{1}=A_{1}B_{1}=A_{1}C_{1},
\angle ACM=2\angle ACD=2\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC\right)=180^{\circ}-\angle BAC,
\angle A_{1}C_{1}M_{1}=2\angle A_{1}C_{1}D_{1}=2\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B_{1}A_{1}C_{1}\right)=180^{\circ}-\angle B_{1}A_{1}C_{1}.
Поэтому в треугольниках ACM
и A_{1}C_{1}M_{1}
AC=A_{1}C_{1},~CM=C_{1}M_{1},~\angle ACM\lt\angle A_{1}C_{1}M_{1},
значит, AM\lt A_{1}M_{1}
. Следовательно, AD\lt A_{1}D_{1}
(см. задачу 3606).