17931. В остроугольном треугольнике проведена высота CT
и описана окружность с центром O
. Докажите, что четырёхугольники ATOC
и BTOC
равновелики.
Решение. Пусть F
— проекция точки O
на прямую AB
. Тогда F
— середина стороны AB
. Треугольники COT
и CFT
с общим основанием CT
и равными высотами, опущенными на CT
, равновелики, а так как CF
— медиана треугольника ABC
, то равновелики треугольники ACF
и BCF
(см. задачу 3001). Следовательно,
S_{BTOC}=S_{\triangle BTC}+S_{\triangle COT}=S_{\triangle BTC}+S_{\triangle CFT}=S_{\triangle BFC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Венгерские математические олимпиады. — 2019, финальный этап, задача 2, с. 20 и 67