17938. Квадраты OABC
и OA_{1}B_{1}C_{1}
одинаково ориентированы. Докажите, что прямые AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в одной точке.
Указание. Опишите окружности около данных квадратов.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Пусть M
— отличная от O
точка пересечения окружностей с диаметрами OB
и OB_{1}
, описанных около данных квадратов. Тогда
\angle OMB=\angle OMB_{1}=90^{\circ}.
Значит, прямая BB_{1}
проходит через точку M
. Аналогично, прямые CC_{1}
и AA_{1}
проходят через точку M
. Отсюда следует утверждение задачи.
Аналогично для любого другого расположения одинаково ориентированных квадратов OABC
Источник: Балканская математическая олимпиада. — 2010, задача 2, с. 47