17938. Квадраты
OABC
и
OA_{1}B_{1}C_{1}
одинаково ориентированы. Докажите, что прямые
AA_{1}
,
BB_{1}
и
CC_{1}
пересекаются в одной точке.
Указание. Первый способ. Опишите окружности около данных квадратов.
Второй способ. Примените поворот на
90^{\circ}
. Пусть прямые прямые
AA_{1}
и
CC_{1}
пересекаются в точке
M
. Докажите, что точки
M
,
B
и
B_{1}
лежат на одной прямой.
Решение. Первый способ. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Пусть
M
— отличная от
O
точка пересечения окружностей с диаметрами
OB
и
OB_{1}
, описанных около данных квадратов. Тогда
\angle OMB=\angle OMB_{1}=90^{\circ}.

Значит, прямая
BB_{1}
проходит через точку
M
. Аналогично, прямые
CC_{1}
и
AA_{1}
проходят через точку
M
. Отсюда следует утверждение задачи.
Аналогично для любого другого расположения одинаково ориентированных квадратов
OABC

Пусть прямые
AA_{1}
и
CC_{1}
пересекаются в точке
M
. Докажем, что прямая
BB_{1}
проходит через точку
M
. Для этого достаточно доказать, что
\angle OMB=\angle OMB_{1}
(т. е., что точки
M
,
B
и
B_{1}
лежат на одной прямой).
Рассмотрим поворот на угол
90^{\circ}
с центром
O
, переводящий точку
C
в
A
. При этом точка
C_{1}
перейдёт в
A_{1}
, а треугольник
OCC_{1}
в равный ему треугольник
OAA_{1}
. Точка
M
перейдёт в точку, лежащую на отрезке
AA_{1}
, причём
\angle AA_{1}O=\angle MA_{1}O=\angle CC_{1}O.

Из точек
A_{1}
и
C_{1}
, лежащих по одну сторону от прямой
OM
, отрезок
OM
виден под одним и тем же углом. Значит (см. задачу 12), четырёхугольник
A_{1}C_{1}MO
вписанный. Тогда
\angle A_{1}MC=\angle A_{1}OC_{1}=90^{\circ},

т. е.
A_{1}M\perp CC_{1}
.
Четырёхугольник
A_{1}B_{1}C_{1}M
тоже вписанный, так как отрезок
A_{1}C_{1}
виден из точек
M
и
B_{1}
под прямым углом. Тогда
\angle A_{1}MB_{1}=\angle A_{1}C_{1}B_{1}=45^{\circ}.

Четырёхугольник
AOCM
вписанный, так как из точек
O
и
M
отрезок
AC
виден под прямым углом. Значит,
\angle OMC=\angle OAC=45^{\circ}~\mbox{и}~\angle AMO=\angle ACO=45^{\circ}.

Четырёхугольник
OBMC
вписанный, так как из точек
C
и
M
отрезок
OB
виден под прямым углом. Значит,
\angle OMC=\angle OBC=45^{\circ}.

Тогда
\angle OMB=90^{\circ}=\angle OCB_{1}=\angle OMB_{1}.

Отсюда следует утверждение задачи.
Второй способ.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2010, задача 2, с. 47 @C SR @513 2010, задача 2, с. 47