17941. Дан остроугольный треугольник ABC
, в котором \angle A\gt\angle C\geqslant\angle B
. Вписанная окружность этого треугольника касается сторон BC
, CA
и AB
в точках D
, E
и F
соответственно. Точки J
, K
, L
и M
лежат отрезках BD
, DC
, EC
и FB
соответственно, причём
AF=FM=JD=DK=LE=EA.
Отрезки AJ
и KM
пересекаются в точке P
, а отрезки AK
и JL
— в точке Q
. Докажите, что четырёхугольник PJKQ
вписанный.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Поскольку
ID=IE=IF,~AF=FM=JD=DK=LE=EA,
а ID\perp BC
, IE\perp CA
и IF\perp AB
, то шесть прямоугольных треугольников с прямыми углами при вершинах D
, E
и F
равны по двум катетам, поэтому
IA=IM=IJ=IK=IL,
т. е. точка I
равноудалена от вершин A
, M
, J
, K
и L
пятиугольника AQMJKL
. Значит, этот пятиугольник вписан в окружность с центром I
, а так как
AM=2AF=2EA=LA,
то равные хорды AM
и LA
его описанной окружности видны из точек K
и J
этой окружности под равными углами. Тогда
\angle PJQ=\angle AJL=\angle AKM=\angle PKQ.
Итак, отрезок PQ
из точек J
и K
, лежащих по одну сторону от прямой PQ
, виден под одним и тем же углом. Следовательно (см. задачу 12), четырёхугольник PJKQ
вписанный. Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2014, задача 4, с. 70