17945. Дан треугольника ABC
, в котором \angle B\leqslant\angle C
, I
— центр вписанной окружности, D
— точка пересечения луча AI
со стороной BC
. Точки M
и N
лежат на сторонах AB
и AC
соответственно, причём BM=BD
и CN=CD
. Описанная окружность треугольника CMN
вторично пересекает прямую BC
в точке P
. Докажите, что четырёхугольник DIMP
вписанный.
Указание. Докажите, что CPMN
— равнобедренная трапеция.
Решение. Поскольку AD
— биссектриса треугольника ABC
, получаем (см. задачу 1509)
\frac{MB}{AB}=\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{NC}{AC},
поэтому MN\parallel AC
. Значит, вписанная трапеция CPMN
равнобедренная. Следовательно, \angle DPM=\angle ACB
.
Поскольку BD=BM
, а точка I
лежит на биссектрисе угла ABC
, то треугольники BMI
и BDI
с общей стороной BI
равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому IM=ID
и \angle BIM=\angle BID
. Тогда
\angle MID=360^{\circ}-\angle DBM-2\angle BDI=360^{\circ}-\angle CBA-2(\angle ACB+\angle CAD)=
=180^{\circ}+180^{\circ}-\angle CBA-2\left(\angle ACB+\frac{1}{2}\angle BAC\right)=
=180^{\circ}+(180^{\circ}-\angle CBA-\angle BAC)-2\angle ACB=
=180^{\circ}+\angle ACB-2\angle ACB=180^{\circ}-\angle ACB.
Значит,
\angle MID+\angle MPD=\angle MID+\angle ACB=(180^{\circ}-\angle ACB)+\angle ACB=180^{\circ}.
Следовательно, четырёхугольник DIMP
вписанный. Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2014, задача 4, с. 89