17946. Дан параллелограмм ABCD
. Прямая l
пересекает прямые AB
, BC
, CD
и DA
в различных точках E
, F
, G
и H
соответственно. Описанные окружности треугольников AEF
и AGH
вторично пересекаются в точке P
. Описанные окружности треугольников CEF
и CGH
вторично пересекаются в точке Q
. Докажите, что прямая PQ
проходит через середину диагонали BD
.
Указание. Докажите, что точка C
лежит на радикальной оси описанных окружностей треугольников CEF
и CGH
.
Решение. Пусть F'
— отличая от F
точка пересечения прямой BC
с описанной окружностью треугольника AEF
, а G'
— отличная от G
точка пересечения прямой CD
с описанной окружностью треугольника AGH
. Четырёхугольник AF'FE
вписанный, поэтому \angle F'AB=\angle CFG=\alpha
. Четырёхугольник AHGG'
вписанный, поэтому \angle DAG'=\angle FGC=\beta
. Поскольку ABCD
— параллелограмм, \angle BAD=\angle CFG=\gamma
. Тогда
\angle F'AB+\angle BAD+\angle DAG'=\alpha+\gamma+\beta=180^{\circ}.
Следовательно, точки F'
, A
и G'
лежат на одной прямой.
Из параллельности прямых AB
и CD
получаем
\angle CF'G'=\angle FEB=\angle FGC=\beta.
Тогда четырёхугольник FGG'F'
вписанный, поэтому CG\cdot CG'=CF\cdot CF'
. Значит, точка C
лежит на радикальной оси описанных окружностей треугольников AFE
и AFG
, т. е. на прямой AP
(см. задачу 6392). Аналогично докажем, что точка C
лежит на прямой AQ
. Значит, прямая PQ
совпадает с прямой AC
, которая проходит через середину диагонали BD
параллелограмма ABCD
. Следовательно, прямая PQ
проходит через середину диагонали BD
. Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2014, задача 2, с. 91