17950. Точка D
лежит на стороне BC
треугольника ABC
. Точка E
симметрична точке D
относительно прямой AB
, а точка F
симметрична точке E
относительно прямой AC
. Прямые DF
и AC
пересекаются в точке P
. Докажите, что четырёхугольник AEDP
вписанный.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
и \angle BAD=\theta
. Поскольку E
— точка, симметричная точке D
относительно прямой AB
, получаем, что AD=AE
и DE\perp AB
. Поскольку F
— точка, симметричная точке E
относительно прямой AC
, получаем, что AE=AF
и EF\perp AC
. Тогда
\angle DEA=2\theta,~\angle DEA=90^{\circ}-\theta,
\angle CAF=\angle EAC=\angle EAB+\angle BAC=\theta+\alpha,
\angle PDA=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle DAF=90^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle DAC+\angle CAF)=
=90^{\circ}-\frac{1}{2}((\alpha-\theta)+(\alpha+\theta))=90^{\circ}-\alpha.
Значит, по теореме о внешнем угле треугольника
\angle DPC=\angle PDA+\angle DAC=(90^{\circ}-\alpha)+(\alpha-\theta)=90^{\circ}-\alpha=\angle DEA,
поэтому
\angle APD=180^{\circ}-\angle DPC=180^{\circ}-\angle DEA.
Следовательно (см. задачу 49), четырёхугольник AEDP
вписанный. Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2015, задача 1, с. 47