17960. Окружность \omega
с центром I
, вписанная в треугольник ABC
, касается его сторон BC
, CA
и AB
в точках D
, E
и F
соответственно. Прямая, проходящая через вершину A
параллельно BC
, пересекает отрезки DE
и DF
в точках M
и N
соответственно. Описанная окружность \Omega
треугольника DMN
вторично пересекает окружность \omega
в точке L
.
а) Пусть K
— точка пересечения NE
и MF
. Докажите, что K
— ортоцентр треугольника DMN
.
б) Докажите, что точки A
, K
и L
лежат на одной прямой.
Указание. б) Точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно середины стороны, лежит на его описанной окружности (см. задачу 6300).
Решение. а) Из параллельности MN
и BC
получаем
\angle ANF=\angle FDB=\angle DFB=\angle AFN,
поэтому AN=AF
. Аналогично, AM=AE
. Тогда
AM=AE=AF=AN.
Значит, точки M
, N
, E
и F
лежат на окружности центром A
.
Пусть отрезки MF
и NE
пересекаются в точке K
. Точки E
и F
лежат на окружности с диаметром MN
, поэтому
\angle KFD=\angle KED=90^{\circ}.
Значит, DK
— диаметр окружности \omega
и на этой окружности лежит точка K
. Отсюда получаем, что K
— ортоцентр треугольника DMN
.
б) Пусть P
— точка, симметричная точке K
относительно середины A
отрезка MN
. Тогда P
лежит на окружности \Omega
, а KMPN
— параллелограмм (см. задачу 6300). Значит, PM\parallel NK
, а NK\perp MD
, поэтому PN\perp MD
. Аналогично, KM\perp DN
. Тогда DP
— диаметр окружности \Omega
. В то же время, DK
— диаметр окружности \omega
, поэтому \angle PLD=\angle KLD=90^{\circ}
. Следовательно, точка L
лежит прямой AK
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2016, задача 1, с. 89