17966. Даны окружность \Gamma
и её хорда BC
, не равная диаметру. Точка A
лежит на большей дуге BC
окружности \Gamma
, E
и F
— основания перпендикуляров, опущенных из точек B
и C
на AC
и AB
соответственно, а H
— ортоцентр треугольника ABC
.
а) Докажите, что две касательные, проведённые к описанной окружности треугольника EAF
в точках E
и F
, проходят через фиксированную точку для любой точки A
большей дуги BC
окружности \Gamma
.
б) Пусть прямые EF
и BC
пересекаются в точке T
. Докажите, что TH\perp AM
.
Решение. а) Пусть M
— середина стороны BC
. Из точек E
и F
отрезок AH
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AH
и с центром в середине N
отрезка AH
. Аналогично, точки E
и F
лежат на окружности с диаметром BC
и с центром в точке M
. Тогда NE=NH
как радиусы первой окружности, а ME=MB
как радиусы второй. Значит,
\angle MEN=\angle MEB+\angle NEB=\angle MBE+\angle NHE=\angle EAH+\angle AHE=90^{\circ}.
Следовательно, ME
— касательная к описанной окружности треугольника EAF
. Аналогично докажем, что MF
— вторая касательная к этой окружности. Обе касательных при любом положении точки A
на большей дуге BC
окружности \Gamma
проходят через фиксированную точку M
. Утверждение пункта а) доказано.
б) См. задачу 6146.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2017, задача 3, с. 28