17971. Дан треугольник ABC
с углом 45^{\circ}
при вершине C
, а точки O
и E
— центр описанной окружности и ортоцентр соответственно. Прямая, проходящая через точку C
перпендикулярно CO
, пересекает стороны AC
и BC
в точках K
и L
соответственно. Докажите, что периметр треугольника KLH
равен диаметру описанной окружности треугольника ABC
.
Указание. См. задачу 4785.
Решение. Пусть лучи AH
и BH
пересекают описанную окружность треугольника ABC
в точках E
и H
соответственно. Тогда (см. задачу 4785) точки E
и F
симметричны точке H
относительно прямых BC
и AC
соответственно.
Пусть BT
— высота треугольника ABC
. Тогда
\angle FBC=\angle TBC=90^{\circ}-\angle TBC=90^{\circ}-\angle TBC=45^{\circ},
поэтому
\angle COF=2\angle CBF=90^{\circ}.
Значит, точка K
лежит на прямой OF
, а так как \angle CAE=45^{\circ}
, то аналогично докажем, что точка L
лежит на прямой OE
. Тогда
OK+KH=OK+KF=OF~\mbox{и}~OL+LH=OL+LE=OE.
Пусть радиус описанной окружности треугольника ABC
равен R
. Сложив равенства
OK+KH=OF~\mbox{и}~OL+LE=OE,
получим
2R=R+R=OE+OF=(OL+LH)+(OK+KH)=
=(OK+OL)+LH+KH=KL+LH+KH.
Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2019, задача 4, с. 48