17979. Точка E
— середина высоты AD
остроугольного треугольника ABC
. С центром в точке E
радиусом AE
проведена окружность \omega
. Прямые BE
и CE
пересекают эту окружность в точках X
и Y
соответственно, причём B
и X
лежат по разные стороны от прямой AD
и точки C
и Y
лежат по разные стороны от прямой AD
. Известно, что обе точки пересечения описанных окружностей треугольников BDX
и CDY
лежат на прямой AD
. Докажите, что AB=AC
.
Указание. Прямая AD
— радикальная ось описанных окружностей треугольников BDX
и CDY
(см. задачу 6392)
Решение. Заметим, что прямая AD
— радикальная ось описанных окружностей треугольников BDX
и CDY
(см. задачу 6392), поэтому степени точки E
относительно этих окружностей равны, т. е. BE\cdot EX=CE\cdot EY
, а так как EX=EY
как радиусы окружности \omega
, то BE=BC
. Значит, прямая DE
— серединный перпендикуляр к отрезку BC
. Следовательно, AB=AC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2023, задача 3, с. 38