17981. Около треугольника ABC
описана окружность \Omega
с центром O
. Окружность \Gamma
проходит через точки O
, B
и касается прямой AB
в точке B
. Окружность \Gamma
пересекает \Omega
в точке P
, отличной от B
. Окружность, проходящая через точки P
и C
, касается прямой AC
в точке C
и пересекает окружность \Gamma
в точке M
. Докажите, что MP=MC
.
Решение. Поскольку AB
— касательная к окружности \Gamma
и OB=OP
, то по теореме об угле между касательной и хордой
\angle ABO=\angle OPB=\angle OBP,
поэтому луч BO
— биссектриса вписанного в окружность \Omega
угла ABP
. Пусть BB_{1}
— диаметр окружности \Omega
. Прямоугольные треугольники BAB_{1}
и BPB_{1}
равны по общей гипотенузе BB_{1}
и острому углу, поэтому AB=AP
, т. е. треугольник ABP
равнобедренный. Тогда
\angle ACP=\angle ABP=2\angle OBP.
Пусть M'
— отличная от B
точка пересечения окружности \Gamma
с прямой BC
. Поскольку OB=OP
как радиусы окружности \Omega
, получаем, что \angle PM'O=\angle OM'B
. Значит,
\angle PM'C=2\angle PM'O=2\angle OBP=\angle ABP=\angle ACP.
Тогда (см. задачу 144) прямая AC
— касательная к описанной окружности треугольника PM'C
. Следовательно, точка M'
совпадает с точкой M
из условия задачи.
Четырёхугольник ABCP
вписанный, поэтому \angle PCM=\angle PAB
. Кроме того,
\angle PMC=2\angle PMO=2\angle OBP=\angle ABP.
Значит, треугольники ABP
и PMC
подобны по двум углам, а так как треугольник ABP
равнобедренный, то треугольник PMC
тоже равнобедренный, MP=MC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2024, задача 5, с. 34