17983. Окружности \Omega
и \omega
с центрами O
и O_{1}
соответственно пересекаются в точках E
и F
. На окружности \Omega
отмечена точка D
, причём точки D
, O_{1}
и F
не лежат на одной прямой. Прямая DE
пересекает окружность \omega
в точке G
, отличной от E
. Описанная окружность \Gamma
треугольника DOF
пересекает окружность \omega
в точке A
, отличной от F
. Докажите, что \angle GAO=90^{\circ}
.
Указание. См. задачу 144.
Решение. Пусть H
— точка пересечения луча AG
с окружностью \Gamma
, а M
— точка на продолжении отрезка DH
за точку D
. Тогда
\angle MDF=180^{\circ}-\angle HDF=180^{\circ}-\angle HAF=180^{\circ}-\angle GEF=\angle DEF.
Значит (см. задачу 144), прямая DH
— касательная к окружности \Omega
. Тогда \angle HDO=90^{\circ}
, поэтому OH
— диаметр окружности \Gamma
. Следовательно,
\angle GAO=\angle HAO=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2024, задача 6, с. 41