17984. Точки A
, B
, C
, X
, D
, Y
лежат на окружности \omega
в указанном порядке, причём BD
— диаметр \omega
и DX=DY=DP
, где P
— точка пересечения прямых AC
и BD
. Пусть E
и F
— точки пересечения прямой XP
с прямыми AB
и BC
соответственно. Докажите, что точки B
, E
, F
, Y
лежат на одной окружности.
Указание. Сначала докажите, что на одной окружности лежат точки Y
, P
, C
, F
.
Решение. Сначала докажем, что четырёхугольник YPCF
вписанный. Действительно,
\angle YPF=2\angle YPD=2\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BDY\right)=180^{\circ}-\angle BDY=180^{\circ}-\angle BCY=\angle YCF.
Из точек P
и C
, лежащих по одну сторону от прямой FY
, отрезок FY
виден под одним и тем же углом. Значит, эти точки лежат на одной окружности (см. задачу 12), т. е. четырёхугольник YPCF
вписанный.
Далее получаем
\angle EFY=\angle PFY=\angle PCY=\angle ACY=\angle ABY=\angle EBY.
Следовательно, точки B
, E
, F
, Y
лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.
Источник: Чешско-польско-словацкий турнир. — 2019, задача 1 (First day - 24 June 2019)