17985. Диагонали параллелограмма ABCD
пересекаются в точке P
. Точка M
— середина стороны AB
. Касательная в точке A
к описанной окружности треугольника MAD
и касательная в точке B
к описанной окружности треугольника MBC
пересекаются в точке Q
. Докажите, что точки Q
, M
и P
лежат на одной прямой.
Указание. Примените теорему об угле между касательной и хордой (см. задачу 87).
Решение. Пусть T
-- середина стороны CD
. Тогда точки T
, M
и P
лежат на прямой, параллельной BC
и AD
. Применив теорему об угле между касательной и хордой, получим
\angle ATB=\angle ATM+\angle MTB=\angle MCB+\angle ADM=\angle MBQ+\angle QAM=180^{\circ}-\angle AQB.
Значит, точки A
, T
, B
и Q
лежат на одной окружности. Тогда
\angle ATQ=\angle ABQ=\angle MCB=\angle ATM,
поэтому точки T
, M
и Q
лежат на одной прямой. Следовательно, точки Q
, M
и P
тоже лежат на одной прямой (на прямой, параллельной BC
и AD
). Что и требовалось доказать.
Источник: Чешско-польско-словацкий турнир. — 2020, задача 1