1799. Точки D
и E
— середины сторон соответственно AB
и BC
треугольника ABC
. Точка M
лежит на стороне AC
, причём ME\gt EC
. Докажите, что MD\lt AD
.
Указание. Для того, чтобы угол P
треугольника PQR
был острым, необходимо и достаточно, чтобы медиана, проведённая из вершины P
, была больше половины стороны QR
.
Решение. Поскольку ME
— медиана треугольника BMC
и ME\gt EC=\frac{1}{2}BC
, то угол BMC
— острый (см. задачу 3550). Значит, угол AMB
— тупой, следовательно, MD\lt\frac{1}{2}AB=AD
.