3550. Пусть AA_{1}
— медиана треугольника ABC
. Докажите, что угол A
острый тогда и только тогда, когда AA_{1}\gt\frac{1}{2}BC
.
Указание. Постройте окружность на стороне BC
как на диаметре.
Решение. Первый способ. Построим на стороне BC
как на диаметре окружность. Пусть AA_{1}\gt\frac{1}{2}BC
. Тогда вершина A
лежит вне этой окружности. Поэтому отрезок BC
виден из точки A
под острым углом (см. задачу 1772).
Обратно, если угол A
— острый, то точка A
лежит вне окружности. Поэтому AA_{1}\gt\frac{1}{2}BC
.
Второй способ. Пусть AA_{1}\gt\frac{1}{2}BC=BA_{1}
. Тогда в треугольнике AA_{1}B
против большей стороны AA_{1}
лежит больший угол. Значит, \angle BAA_{1}\lt\angle B
. Аналогично докажем, что \angle CAA_{1}\lt\angle C
. Следовательно,
\angle BAC=\angle BAA_{1}+\angle CAA_{1}\lt\angle B+\angle C=180^{\circ}-\angle BAC.
Отсюда находим, что \angle BAC\lt90^{\circ}
.
Обратно, пусть угол BAC
— острый. Предположим, что AA_{1}\leqslant\frac{1}{2}BC
. Тогда аналогично предыдущему докажем, что \angle BAC\geqslant90^{\circ}
.