3550. Пусть AA_{1}
— медиана треугольника ABC
. Докажите, что угол A
острый тогда и только тогда, когда AA_{1}\gt\frac{1}{2}BC
.
Указание. Постройте окружность на стороне BC
как на диаметре.
Решение. Первый способ. Построим на стороне BC
как на диаметре окружность. Пусть AA_{1}\gt\frac{1}{2}BC
. Тогда вершина A
лежит вне этой окружности. Поэтому отрезок BC
виден из точки A
под острым углом (см. задачу 1772).
Обратно, если угол A
— острый, то точка A
лежит вне окружности. Поэтому AA_{1}\gt\frac{1}{2}BC
.
Второй способ. Пусть AA_{1}\gt\frac{1}{2}BC=BA_{1}
. Тогда в треугольнике AA_{1}B
против большей стороны AA_{1}
лежит больший угол. Значит, \angle BAA_{1}\lt\angle B
. Аналогично докажем, что \angle CAA_{1}\lt\angle C
. Следовательно,
\angle BAC=\angle BAA_{1}+\angle CAA_{1}\lt\angle B+\angle C=180^{\circ}-\angle BAC.
Отсюда находим, что \angle BAC\lt90^{\circ}
.
Обратно, пусть угол BAC
— острый. Предположим, что AA_{1}\leqslant\frac{1}{2}BC
. Тогда аналогично предыдущему докажем, что \angle BAC\geqslant90^{\circ}
.
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — № 29, с. 62
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1949, билет 14, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 49-14-3, с. 19
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 22, с. 184
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 10.60, с. 264
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 429, с. 67
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 10.63, с. 257