17997. Около остроугольного треугольника ABC
, у которого \angle CAB\gt45^{\circ}
, описана окружность с центром O
. Точка P
лежит внутри треугольника, причём точки A
, P
, O
, B
лежат на одной окружности и BP\perp CP
. Точка Q
лежит на отрезке BP
, причём AQ\parallel PO
. Докажите, что \angle QCB=\angle PCQ
.
Решение. Центральный угол BOC
вдвое больше вписанного угла BAC
, поэтому
\angle BOC=2\angle BAC\gt90^{\circ},
поэтому точки A
, P
, O
, B
лежат на описанной окружности треугольника AOB
в указанном порядке.
Поскольку
\angle QCB=\angle QCO+\angle BCO=\angle QCO+\angle PCQ,
то вместо равенства \angle QCB=\angle PCQ
достаточно доказать равносильное ему равенство \angle BCO=\angle PCQ
.
Заметим, что
\angle OCB=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BOC=90^{\circ}-\angle BAC~\mbox{и}~\angle PCQ=90^{\circ}-\angle CQP,
поэтому достаточно доказать, что \angle BAC=\angle CQP
.
Действительно,
\angle PQA=\angle QPO=\angle BPO=\angle BAO=\angle OBA=180^{\circ}-\angle APO=\angle QAP,
поэтому треугольник AQP
равнобедренный, PA=PQ
, значит, если точка Q'
симметрична Q
относительно точки P
, то треугольник QAQ'
прямоугольный с прямым углом при вершине A
(см. задачу 1188); в то же время,
\angle AQ'B=\angle AQ'Q=90^{\circ}-\angle Q'QA=90^{\circ}-\angle PQA=90^{\circ}-\angle OBA=\angle ACB,
поэтому четырёхугольник ABCQ'
вписанный, \angle QPC=90^{\circ}
, PQ=PQ'
, треугольник Q'QC
равнобедренный, CQ=CQ'
; значит,
\angle CQP=\angle CQQ'=\angle QQ'C=\angle BQ'C=\angle BAC.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Европейская математическая олимпиада для девушек (EGMO). — 2016, задача I-3G, с. 9