17999. В остроугольном треугольнике ABC
(AB\lt AC
) проведена высота AD
; R
и Q
— точки пересечения медиан треугольников ABD
и ACD
соответственно. Точка P
, отличная от D
, лежит на отрезке BC
, причём точки P
, Q
, R
и D
лежат на одной окружности. Докажите, что прямые AP
, BQ
и CR
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть K
и L
— середины сторон AB
и AC
соответственно. Поскольку
\frac{DR}{DK}=\frac{2}{3}=\frac{DQ}{DL}
а KL
— средняя линия треугольника ABC
, то RQ\parallel KL\parallel BC
.
В то же время, DK
и DL
— медианы прямоугольных треугольников ADB
и ADC
, проведённые из вершин прямых углов, а DPQR
— вписанная в окружность (а значит, равнобедренная) трапеция с основаниями DP
и QR
. Тогда
\angle CPQ=\angle BDR=\angle BDK=\angle ABD~\mbox{и}~\angle RPD=\angle QDP=\angle LDC=\angle ACD,
поэтому QP\parallel AB
и RP\parallel AC
.
Таким образом, стороны RQ
, QP
и RP
треугольника PQR
соответственно параллельны сторонам BC
, AB
и AC
треугольника ABC
. Значит (см. задачу 5000), эти треугольники гомотетичны. Следовательно, прямые AP
, BQ
и CR
пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.
Источник: Среднеевропейская математическая олимпиада. — 2018, задача I-3, с. 9