18006. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором нет прямых углов. Точки P
, Q
, R
и S
лежат на его сторонах AB
, BC
, CD
и DA
соответственно, причём PS\parallel BD
, SQ\perp BC
и PR\perp CD
, а прямые PR
, SQ
и AC
пересекаются в одной точке. Докажите, что точки P
, Q
, R
, S
лежат на одной окружности.
Указание. Докажите, что ортоцентр треугольника BCD
лежит на прямой AC
(см. задачу 5000).
Решение. Пусть T
— точка пересечения прямых PR
, SQ
и AC
, а H
— ортоцентр треугольника BCD
. Поскольку \angle BCD\ne90^{\circ}
, точка H
отлична от C
. Заметим, что треугольники HBD
и TPS
гомотетичны, так как их соответствующие стороны параллельны (см. задачу 5000). Значит, прямые HT
, BP
и DS
пересекаются в одной точке — центре гомотетии. Следовательно, точка H
лежит на прямой AC
.
Из параллельностей BD\parallel PS
и BH\parallel PR
получаем
\angle RPS=\angle TPS=\angle HBD,
а так как H
— ортоцентр треугольника BCD
, то
\angle HBD=\angle DCH=\angle RCT.
В то же время, из точек Q
и R
отрезок CT
виден под прямым углом, значит, четырёхугольник CRTQ
вписанный. Тогда
\angle RCT=\angle RQT=\angle RQS.
Значит, \angle RPS=\angle RQC
.
Из точек P
и Q
, лежащих по одну сторону от прямой RS
, отрезок RS
виден под одним и тем же углом. Следовательно, точки P
, Q
, R
, S
лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.
Источник: Среднеевропейская математическая олимпиада. — 2023, задача T-5, с. 18