18018. В треугольнике ABC
проведены его биссектрисы AD
и BE
. Точки F
и G
лежат на описанной окружности треугольника ABC
, причём AF\parallel DE
и FG\parallel BC
. Докажите, что \frac{AG}{BG}=\frac{AC+BC}{AB+BC}
Указание. Примените свойство биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) и подобие треугольников CED
и GAB
.
Решение. Обозначим AB=c
, BC=a
и CA=b
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) находим, что
CE=\frac{ab}{a+c},~CD=\frac{ab}{b+c}~\Rightarrow~\frac{CE}{CD}=\frac{b+c}{a+c}.
Из равенства вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу, и условий AF\parallel DE
и FG\parallel BC
, получаем
\angle ABG=\angle AFG=\angle EDC,~\angle AGB=\angle ACB.
Значит, треугольники CED
и GAB
подобны по двум углам. Следовательно,
\frac{AG}{BG}=\frac{CE}{CD}=\frac{b+c}{a+c}=\frac{AC+AB}{AB+BC}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Североевропейское математическое соревнование (Nordic Mathematical Contest, NMC). — 2008, задача 3, с. 62