18021. На основании BC
равнобедренного треугольника ABC
отмечена точка E
, а на продолжении боковой стороны BA
за точку A
— точка D
, причём CD\parallel AE
. Докажите, что CD\geqslant\frac{4h}{BC}\cdot CE
, где h
— высота треугольника ABC
, проведённая из вершины A
. Когда достигается равенство?
Ответ. Равенство достигается тогда и только тогда, когда точка E
совпадает с серединой F
основания BC
.
Решение. Из параллельности CD
и AE
следует подобие треугольников ABE
и DBC
, поэтому
\frac{CD}{AE}=\frac{BC}{BE}~\Rightarrow~CD=\frac{BC}{BE}\cdot AE=\frac{AE\cdot BC}{BE\cdot CE}\cdot CE.
Пусть AF=h
— высота треугольника ABC
. Тогда AE\geqslant AF=h
, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда точка E
совпадает с F
. Поскольку треугольник ABC
равнобедренный, точка F
— середина основания BC
.
По неравенству Коши (см. задачу 3399)
BE\cdot CE\leqslant\left(\frac{BE+EC}{2}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}BC\right)^{2},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда BE=CE
, т. е. когда точка E
совпадает с F
. Следовательно,
CD=\frac{AE\cdot BC}{BE\cdot CE}\cdot CE\geqslant\frac{AE\cdot BC}{\left(\frac{1}{2}BC\right)^{2}}=\frac{4AE\cdot CE}{BC}\geqslant\frac{4h}{BC}\cdot CE,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда точка E
совпадает с серединой F
основания BC
.
Источник: Североевропейское математическое соревнование (Nordic Mathematical Contest, NMC). — 2011, задача 2, с. 67