18022. Дан треугольник ABC
. Точка P
— середина не содержащей точки A
дуги BC
описанной окружности \Omega
этого треугольника. Прямая l
проведена через точку P
параллельно стороне AB
. Окружность \omega
проходит через точку B
, касается прямой l
в точке P
и либо вторично пересекает прямую AB
в точке Q
, либо точки P
и Q
совпадают. Докажите, что AQ=AC
.
Решение. Если точки Q
и B
совпадают, то поскольку прямые AB
и l
параллельны, PQ
— диаметр окружности \omega
, перпендикулярный AB
. Тогда AP
— диаметр окружности \Omega
, поэтому AQ=AB=AC
.
Пусть точка Q
лежит между A
и B
. Поскольку прямая l
— касательная к окружности \omega
, параллельная хорде BQ
, то треугольник BPQ
равнобедренный с основанием BQ
.
Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
и \angle ACB=\gamma
. Луч AP
— биссектриса вписанного в окружность \Omega
угла BAC
(см. задачу 430), поэтому
\angle CBP=\angle BAP=\frac{\alpha}{2}~\Rightarrow~\angle AQP=180^{\circ}-\angle PQB=180^{\circ}-\angle PBQ=
=180^{\circ}-(\angle QBC+\angle CBP)=180^{\circ}-\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)=(180^{\circ}-\beta)-\frac{\alpha}{2}=
=\alpha+\gamma-\frac{\alpha}{2}=\frac{\alpha}{2}+\gamma=\angle ACP.
Значит, треугольники AQP
и ACP
с общей стороной AP
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, AQ=AC
.
Аналогично для случая, когда точка B
лежит между A
и Q
.
Источник: Североевропейское математическое соревнование (Nordic Mathematical Contest, NMC). — 2012, задача 2, с. 3