18023. Дан треугольник ABC
и окружность \Gamma
с диаметром AB
. Биссектрисы углов BAC
и ABC
вторично пересекают \Gamma
точках D
и E
соответственно. Вписанная окружность треугольника ABC
касается его сторон BC
и AC
в точках F
и G
соответственно. Докажите, что точки D
, E
, F
и G
лежат на одной прямой.
Указание. Пусть прямая ED
пересекает сторону AC
в точке G'
, а сторону BC
— в точке F'
. Докажите, что точки G'
и F'
совпадают с G
и F
соответственно.
Решение. Пусть прямая ED
пересекает сторону AC
в точке G'
, а сторону BC
— в точке F'
. Биссектрисы AD
и BE
пересекаются в точке I
. Вписанные в окружность \Gamma
углы DAB
и DEB
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle DAB=\angle DED=\angle G'EI,
а так как
\angle DAB=\angle CAD=\angle G'AI,
то точки E
, A
, I
и G'
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Кроме того, AB
— диаметр окружности \Gamma
, поэтому
\angle AG'I=\angle AEB=\angle AEB=90^{\circ}=\angle AGI
Значит, точка G'
совпадает с G
. Аналогично докажем, что точка F'
совпадает с F
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Североевропейское математическое соревнование (Nordic Mathematical Contest, NMC). — 2015, задача 1