18025. Дан треугольник ABC
, AB\lt AC
. Точки D
и E
лежат на прямых CA
и BA
соответственно, причём CD=AB
, BE=AC
, и точки A
, D
и E
лежат по одну сторону от прямой BC
. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, а H
— ортоцентр треугольника BCI
. Докажите, что точки D
, E
и H
лежат на одной прямой.
Указание. Достройте треугольник ABC
до параллелограмма ABA'C
. Докажите, что H
— центр вневписанной окружности, треугольника BA'C
, противолежащей вершине A'
.
Решение. Достроим треугольник ABC
до параллелограмма ABA'C
. Обозначим \angle CA'B=\angle ABC=\alpha
.
Поскольку CD=AB=CA'
, треугольник CDA'
равнобедренный с основанием A'D
, а так как \angle DCA'=180^{\circ}-\alpha
, то \angle A'DC=\angle CA'D=\frac{\alpha}{2}
. Значит, точка D
лежит на биссектрисе l
угла при вершине A'
треугольника CA'B
. Аналогично докажем, что точка E
тоже лежит на l
.
Заметим, что
\angle CBH=90^{\circ}-\angle BCI=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ACB=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A'CB,
а так как биссектрисы смежных углов перпендикулярны, то BH
— биссектриса внешнего угла при вершине B
треугольника A'BC
. Аналогично получим, что CH
— биссектриса внешнего угла при вершине C
этого треугольника. Значит (см. задачу 1192), H
— центр вневписанной окружности треугольника A'BC
, касающейся стороны BC
, а A'H
— биссектриса угла BA'C
, т. е. точка H
тоже лежит на l
. Следовательно, точки D
, E
и H
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Источник: Североевропейское математическое соревнование (Nordic Mathematical Contest, NMC). — 2018, задача 3