18026. Дан четырёхугольник ABCD
. Известно, что \angle ACD=2\angle CAB
, \angle ACB=2\angle CAD
и CB=CD
. Докажите, что \angle CAB=\angle CAD
.
Указание. Примените свойство биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) и метод площадей.
Решение. Обозначим \angle CAD=\alpha
и \angle CAB=\beta
. Пусть CF
и CE
— биссектрисы треугольников CAD
и CAB
соответственно. Тогда по условию
\angle DCF=\angle ACF=\angle CAE=\beta,~\angle BCE=\angle ACE=\angle CAF=\alpha,
поэтому AEFC
— параллелограмм. Тогда
\angle CFD=\alpha+\beta=\angle CEB.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{BE}{CF}=\frac{BE}{AE}=\frac{CB}{CA}=\frac{CD}{CA}=\frac{DF}{AF}=\frac{DF}{CE},
откуда
BE\cdot CE=DF\cdot CF.
Значит, треугольники BEC
и DFC
равновелики, т. е.
S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}BE\cdot CE\sin(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}DF\cdot CF\sin(\alpha+\beta).
В то же время, треугольники CAE
и ACF
равны, поэтому треугольники ABC
и ADC
равновелики. Значит,
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ADC}~\Leftrightarrow~\frac{1}{2}CA\cdot CB\sin2\alpha=\frac{1}{2}CA\cdot CD\sin2\beta~\Leftrightarrow~\sin2\alpha=\sin2\beta,
но
2\alpha+2\beta=\angle BCA+\angle DCA\ne180^{\circ},
так как ABCD
— четырёхугольник. Следовательно, \alpha=\beta
, или \angle CAB=\angle CAD
. Что и требовалось доказать.
Источник: Североевропейское математическое соревнование (Nordic Mathematical Contest, NMC). — 2019, задача 3, с. 4