18027. Точки A
, B
, C
и D
расположены на окружности \Omega
в указанном порядке. Прямые AB
и CD
пересекаются в точке E
, причём точка A
лежит между B
и E
, а прямые BD
и AC
пересекаются в точке F
. Точка X
, отличная от D
, лежит на \Omega
, причём прямые DX
и EF
параллельны. Точка Y
симметрична точке D
относительно прямой EF
, причём Y
лежит внутри окружности \Omega
. Докажите, что точки A
, X
и Y
лежат на одной прямой.
Указание. Докажите, что: а) четырёхугольник AYFE
вписанный; б) \angle BAY=\angle BAX
.
Решение. Докажем сначала, что четырёхугольник AYFE
вписанный. Действительно,
\angle EAF=180^{\circ}-\angle BAC=180^{\circ}-\angle BDC=\angle FDE=\angle EXF
(последнее равенство получается из симметрии D
и Y
относительно прямой EF
). Тогда из точек A
и X
, лежащих по одну сторону от прямой EF
, отрезок EF
виден под одним и тем же углом. Следовательно, четырёхугольник AYFE
вписанный (см. задачу 12).
Тогда
\angle BAY=180^{\circ}-\angle EAY=\angle EFY=\angle EFD=\angle XDF=\angle XDA=\angle BAX.
Следовательно, точки A
, X
и Y
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Источник: Североевропейское математическое соревнование (Nordic Mathematical Contest, NMC). — 2021, задача 4