18028. Пусть \triangle_{1}
— четырёхугольник, середины сторон которого лежат на одной окружности. Докажите, что существует вписанный четырёхугольник \triangle_{2}
со сторонами, равными сторонам четырёхугольника \triangle_{1}
, и двумя равными углами.
Решение. Пусть A
, B
, C
и D
— последовательные вершины четырёхугольника \triangle_{1}
, а K
, L
, M
и N
— середины сторон AB
, BC
, CD
и DA
соответственно. Тогда KLMN
— параллелограмм (см. задачу 1024), а так как по условию около него можно описать окружность, то KLMN
— прямоугольник. Значит, AC\perp BD
.
Пусть P
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
. По теореме Пифагора
AB^{2}+CD^{2}=(AP^{2}+BP^{2})+(CP^{2}+DP^{2})=(AP^{2}+DP^{2})+(BP^{2}+CP^{2})=AD^{2}+BC^{2}.
Построим четырёхугольник \triangle_{2}
с диагональю A'C'
(A'C'^{2}=AB^{2}+CD^{2}
), и вершинами B'
и D'
, расположенными на окружности с диаметром A'C'
, причём A'B'=AB
и A'D'=AD
.
Тогда C'B'=AB
и A'D'=BC
. Значит, стороны \triangle_{2}
равны сторонам \triangle_{1}
и у \triangle_{2}
есть два равных (прямых) угла.
Источник: Североевропейское математическое соревнование (Nordic Mathematical Contest, NMC). — 2024, задача 2