18029. В остроугольном треугольнике ABC
точка H
— ортоцентр, а O
— центр описанной окружности. На отрезках AC
и AB
отмечены точки E
и F
соответственно, причём AEHF
— параллелограмм. Докажите, что OE=OF
.
Указание. Докажите подобие треугольников BFH
и CEH
и примените теорему о произведении пересекающихся хорд (см. задачу 2627).
Решение. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны и параллельны, поэтому FB\parallel EH
и EC\parallel FH
, FB=EH
и EC=FH
. Значит, \angle BFH=\angle CEH
, поэтому прямоугольные треугольники BFH
и CEH
подобны. Тогда, если радиус описанной окружности треугольника ABC
равен R
, то
\frac{BF}{FH}=\frac{CE}{EH}~\Rightarrow~BF\cdot EH=CE\cdot FH~\Rightarrow~BF\cdot AF=CE\cdot AF~\Rightarrow
\Rightarrow~(R+OF)(R-OF)=(R+OE)(R-OE)~\Rightarrow~R^{2}-OF^{2}=R^{2}-OE^{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~OE^{2}=OF^{2}~\Rightarrow~OE=OF.
(см. задачу 2627). Что и требовалось доказать
Источник: Североевропейское математическое соревнование (Nordic Mathematical Contest, NMC). — 2025, задача 2