18031. Дан остроугольный треугольник ABC
. Прямые l_{1}
и l_{2}
проведены перпендикулярно стороне AB
через точки A
и B
соответственно. Прямые, проведённые через середину M
стороны AB
перпендикулярно AC
и BC
, пересекают AC
и BC
в точках E
и F
соответственно. Прямые EF
и MC
пересекаются в точке D
. Докажите, что \angle ADB=\angle EMF
.
Указание. Докажите, что CM\perp EF
.
Решение. Поскольку AH
и BG
— высоты прямоугольных треугольников MAE
и MBF
, проведённые из вершин прямых углов, то (см. задачу 2728)
MA^{2}=MH\cdot ME,~MB^{2}=MF\cdot MG,
а так как MA=ME
, то MH\cdot ME=MF\cdot MG
. Значит, четырёхугольник EHGF
вписанный (см. задачу 114). Из точек H
и G
отрезок MC
виден под прямым углом, поэтому четырёхугольник CHMG
вписан в окружность с диаметром MC
.
Обозначим \angle FEH=\angle MGH=\alpha
и \angle CMH=\angle CGH=\beta
. Тогда
90^{\circ}=\angle MGC=\angle MGH+\angle CGH=\alpha+\beta.
Из треугольника DEM
находим
\angle EDM=180^{\circ}-(\angle DEM+\angle DME)=180^{\circ}-(\angle FEH+\angle CGH)=
=180^{\circ}-(\alpha+\beta)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.
Значит, CM\perp EF
.
Тогда из вписанных четырёхугольников FDMB
и EAMD
получаем
\angle DFM=\angle DBM~\mbox{и}~\angle DEM=\angle DAM,
поэтому треугольники EMF
и ADB
подобны. Следовательно, \angle ADB=\angle EMF
. Что и требовалось доказать.
Источник: Балканская математическая олимпиада юниоров (JBMO). — 2015, задача 3