18035. Дан треугольник ABC
, AB\lt BC
. Серединный перпендикуляр к стороне BC
пересекает прямые AB
и AC
в точках P
и Q
соответственно, H
— ортоцентр треугольника ABC
, а M
и N
— середины отрезков BC
и PQ
соответственно. Докажите, что прямые HM
и AN
пересекаются на описанной окружности треугольника ABC
.
Указание. Докажите подобие треугольников AQN
и HBM
; далее см. задачу 6300.
Решение. Заметим, что
\angle APQ=\angle BPM=90^{\circ}-\angle MBP=90^{\circ}-\angle CBA=\angle HCB,
\angle AQP=\angle MQC=90^{\circ}-\angle QCM=90^{\circ}-\angle ACB=\angle CBH,
поэтому треугольники APQ
и HCB
подобны, а так как AN
и HM
— их соответственные медианы, то треугольники AQN
и HBM
тоже подобны. Значит, \angle ANQ=\angle HMB
.
Пусть L
— точка пересечения прямых AN
и MH
. Тогда
\angle MLN=180^{\circ}-\angle LNM-\angle NML=180^{\circ}-\angle LMB-\angle NML=180^{\circ}-\angle NMB=90^{\circ}.
Пусть D
— точка на описанной окружности треугольника ABC
, диаметрально противоположная точке A
. Тогда точка D
симметрична H
относительно середины M
стороны BC
(см. задачу 6300). Значит, точка D
лежит на прямой MH
и
\angle DLA=\angle MLA=\angle MLN=90^{\circ},
а так как DA
— диаметр описанной окружности треугольника ABC
, то точка L
лежит на этой окружности. Что и требовалось доказать.
Источник: Балканская математическая олимпиада юниоров (JBMO). — 2019, задача 3